Andrew Arana

Over the years many mathematicians have voiced a preference for proofs that stay “close” to the statements being proved, avoiding “foreign”, “extraneous”, or “remote” considerations. Such proofs have come to be known as “pure”. Purity issues have arisen repeatedly in the practice of arithmetic; a famous instance is the question of complex-analytic considerations in the proof of the prime number theorem. This article surveys several such issues, and discusses ways in which logical considerations shed light on these issues.

Une preuve est pure si, en gros, elle ne réfère dans son développement qu’à ce qui est « proche » de, ou « intrinsèque » à l’énoncé à prouver. L’infinité des nombres premiers, un théorème classique de l’arithmétique, est un cas d’étude particulièrement riche pour les recherches philosophiques sur la pureté. Deux preuves différentes de ce résultat sont ici considérées, à savoir la preuve euclidienne classique et une preuve « topologique » plus récente proposée par Furstenberg. D’un point de vue naïf, il semblerait que la première soit pure et la seconde impure. Des objections à cette vue naïve sont ici considérées et réfutées. Concernant la preuve euclidienne, la question relève de la logique, notamment de la définissabilité arithmétique de l’addition en termes de successeur et de divisibilité telle que démontrée par Julia Robinson, tandis qu’en ce qui concerne la preuve topologique, la question relève de la sémantique, notamment pour tout ce qui touche au problème de savoir ce qui est « inclus » dans le contenu d’énoncés particuliers.A proof is pure, roughly, if it draws only on what is « close » or « intrinsic » to the statement being proved. The infinitude of prime numbers, a classical theorem of arithmetic, is a rich case study for philosophical investigation of purity. Two different proofs of this result are considered, namely the classical Euclidean proof and a more recent « topological » proof by Furstenberg. Naively the former would seem to be pure and the latter to be impure. Objections to these naive views are considered and met. In the case of the former the issue rests on logical matters, specifically the arithmetic definability of addition in terms of successor and divisibility shown by Julia Robinson, while in the case of the latter the issue rests on semantic matters, specifically with respect to what is « contained » in the content of particular statements.

In correspondence with Mersenne in 1629, Descartes discusses a construction involving a cylinder and what Descartes calls a “helice.” Mancosu has argued that by “helice” Descartes was referring to a cylindrical helix. The editors of Mersenne’s correspondence (Vol. II), and Henk Bos, have independently argued that, on the con- trary, by “helice” Descartes was referring to the Archimedean spiral. We argue that identifying the helice with the cylindrical helix makes better sense of the text. In the process we take a careful look at constructions of the cylindrical helix available to Descartes and relate them to his criteria for excluding mechanical curves from geometry. Résumé Dans sa correspondance avec Mersenne en 1629, Descartes discute d’une construction qui fait intervenir un cylindre et ce que Descartes appelle une “hélice”. Mancosu a argumenté que Descartes faisait référence à une hélice cylindrique. Les éditeurs de la Correspondance de Mersenne (vol. 2), et Henk Bos, ont indépendamment affirmé que, au contraire, par “hélice” Descartes faisait référence à la spirale d’Archimède. Nous affirmons qu’identifier l’hélice avec l’hélice cylindrique est plus cohérent avec le texte. Dans le même temps nous examinons soigneusement les constructions de l’hélice cylindrique que Descartes avait à disposition et nous les mettons en relation avec son critère d’exclusion des courbes mécaniques de la géométrie.

In this paper I begin by extending two results of Solovay; the first characterizes the possible Turing degrees of models of True Arithmetic (TA), the complete first-order theory of the standard model of PA, while the second characterizes the possible Turing degrees of arbitrary completions of P. I extend these two results to characterize the possible Turing degrees of m-diagrams of models of TA and of arbitrary complete extensions of PA. I next give a construction showing that the conditions Solovay identified for his characterization of degrees of models of arbitrary completions of PA cannot be dropped (I showed that these conditions cannot be simplified in the paper.

This collection of essays explores what makes modern mathematics ‘modern’, where ‘modern mathematics’ is understood as the mathematics done in the West from roughly 1800 to 1970. This is not the trivial matter of exploring what makes recent mathematics recent. The term ‘modern’ (or ‘modernism’) is used widely in the humanities to describe the era since about 1900, exemplified by Picasso or Kandinsky in the visual arts, Rilke or Pound in poetry, or Le Corbusier or Loos in architecture (a building by the latter graces the cover of this book’s dust jacket).