Yvon Gauthier

Dans cet article, je compare les vues de Lautman et Herbrand sur la théorie des nombres et la philosophie de l’arithmétique. Je montre que, bien que Lautman eût avoué avoir été marqué par l’influence de Herbrand, les postures fondationnelles des deux amis divergent considérablement. Alors que Lautman versait dans un réalisme platonicien, Herbrand est resté fidèle au finitisme hilbertien. Il est vrai que Lautman était philosophe et que Herbrand était avant tout arithméticien et logicien, mais il demeure que l’oeuvre de Herbrand a une portée philosophique mieux accordée à la logique et aux mathématiques contemporaines.In this paper, I am contrasting Lautman’s and Herbrand’s views on number theory and philosophy of arithmetic. It is argued that despite the fact that Lautman had acknowledged Herbrand’s major influence on his own work, their foundational stances diverge profoundly. Lautman defended a variety of Platonism and Herbrand advocated a personal version of Hilbertian finitism. Of course, Lautman was a philosopher while Herbrand dealt mainly with number theory and logic. It remains though that Herbrand’s work is more in tune with contemporary logic and mathematics from a philosophical perspective

ABSTRACT: It is argued that the equivalence, which is usually postulated to hold between infinite descent and transfinite induction in the foundations of arithmetic uses the law of excluded middle through the use of a double negation on the infinite set of natural numbers and therefore cannot be admitted in intuitionistic logic and mathematics, and a fortiori in more radical constructivist foundational schemes. Moreover it is shown that the infinite descent used in Dedekind-Peano arithmetic does not correspond to the infinite descent of classical Fermatian arithmetic or number theory. However, from the point of view of classical logic, the principles of complete induction and transfinite induction, the least number principle and infinite descent are all equivalent. We find here a focal point for a foundational critique that aims for a a clarification of philosophical options in the foundations of logic and mathematics

Il est plutôt rare qu’on rende compte dans une revue philosophique d’un manuel de physique théorique. Dans le cas du présent ouvrage, la chose n’est pas si incongrue puisque l’auteur, physicien québécois, n’est pas étranger aux questions philosophiques et s’est souvent mêlé des débats épistémologiques. En plus, son traité comporte plusieurs chapitres qui intéressent l’épistémologie de la physique tout en étant un manuel d’une envergure comparable aux classiques du genre en langue française, ceux de Cohen-Tannoudji, Messiah, Omnès ou Lévy-Leblond. On y trouvera un exposé complet de l’appareil analytique de la mécanique quantique, des espaces de Hilbert de dimension finie à l’intégrale fonctionnelle de Feynman—avec quelques remarques sur la question délicate de la convergence, puisqu’on sait que l’intégrale de «chemins» n’a pas de justification mathématique «interne»—et au groupe de symétrie de l’hamiltonien pour la dynamique d’un système quantique dont l’évolution temporelle est décrite par l’équation de Schrödinger. Ces matières sont introduites avec force détails et le souci constant des applications, comme en témoigne le chapitre8 sur les solutions numériques et les méthodes d’approximation. Couvrant surtout la physique atomique et moléculaire sans aller jusqu’à la théorie des particules élémentaires et la théorie quantique des champs, l’ouvrage discute du problème de la mesure plus abondamment que le traité standard. C’est là d’ailleurs un des traits distinctifs de l’ouvrage et les chapitres6 sur l’interprétation de la mécanique quantique, 12sur l’opérateur densité et 21sur les corrélations à distance feront l’objet de mon analyse.