Frédéric Jaëck

This article examines Stefan Banach’s contributions to the field of functional analysis based on the concept of structure and the multiply-flavored expression of generality that arises in his work on linear operations. More specifically, it discusses the two stages in the process by which Banach elaborated a new framework for functional analysis where structures were bound to play an essential role. It considers whether Banach spaces, or complete normed vector spaces, were born in Banach’s first paper, the 1922 doctoral dissertation On operations on abstract spaces and their application to integral equations. It also analyzes what appears to be the core of Banach’s 1922 article and the transformation into a general setting that it represents. The main achievements of Banach’s dissertation, as well as all the essential features that bear witness to the birth of a new theory, are concentrated in the study of linear operations.

Lectures grothendieckiennes rassemble les textes qui font suite à un séminaire qui s’est tenu au département de mathématiques de l’École Normale Supérieure de 2017 à 2018. Le livre présente une pensée complexe à l’œuvre, celle de l’un des mathématiciens les plus influents et énigmatiques du 20e siècle : Alexander Grothendieck. Les auteurs, Pierre Cartier, Olivia Caramello, Alain Connes, Laurent Lafforgue, Colin McLarty, Gilles Pisier, Jean-Jacques Szczeciniarz et Fernando Zalamea, dévoilent à leur façon les conséquences mathématiques ou philosophiques que l’on peut tirer d’une œuvre monumentale qui a transformé le paysage mathématique du 20e siècle et qui a probablement ouvert une nouvelle ère mathématique que nous avons seulement commencé à explorer. Préface de Peter Scholze. Chaque intervention est disponible en vidéo.

Dans cet article nous étudions trois notes de M. Fréchet sur les opérations linéaires et leur rôle dans l’émergence de l’analyse fonctionnelle au début du XXème siècle. Dans un premier temps nous mettons en évidence les processus de sélection, d’extraction et de réinterprétation mis en oeuvre par Fréchet à partir de matériaux publiés antérieurement. A partir de cette analyse nous nous attachons à montrer comment la progression vers une vision plus générale met en jeu des éléments structurels fondamentaux dans la constitution d’un champ nouveau des mathématiques. Notre étude permet finalement de préciser le concept de structure dans son rôle central dans l’émergence de l’analyse fonctionnelle.

This paper provides an analysis of the use of axioms in Banach’s Ph.D. and their role in the progression of Banach’s mathematical thought. In order to give a precise account of the role of Banach’s axioms, we distinguish two levels of activity. The first one is devoted to the overall process of creating a new theory able to answer some prescribed problems in functional analysis. The second one concentrates on the epistemological role of axioms. In particular, the notion of norm completeness, as it appears in Banach’s text, can be interpreted as an epistemic linchpin between several a priori inhomogeneous domains of mathematical thought.