Marcin Czakon

In this paper we put a thesis that it is possible to perceive mathematics as a science of structures, where the difference between structure as the object of study and theory as something which describes this object is blurred. We discusses the view of set-theoretical structuralism with a special emphasis placed on a certain gradual development of set theory as a formal theory. We proposes a certain view concerning the methodology of formal sciences, which is an attempt at describing precisely and capturing in a scheme the ways of development of deductive sciences in general, set theory including. We show that the standpoint of sui generis structuralism has some features characteristic of purely formal theory.

Celem jaki stawiamy przed tą książką, jest chęć zrozumienia, co to znaczy, że matematyka jest nauką o strukturach. Osiągnięcie tego celu będzie zależało od zrozumienia tego, co kryje się pod pojęciem „struktury” w obrębie matematyki. Pierwszy sposób rozumienia pojęcia struktury matematycznej to struktura -jako-teoria, albo inaczej struktura teorii. Drugi ze sposobów rozumienia pojęcia struktury to struktura- jako-przedmiot, czyli obiekt badany przez matematykę. Próbując zrozumieć stanowisko strukturalistyczne w obrębie filozofii matematyki, zbadamy, jakie właściwe znaczenie ma każde z tych pojęć. Postaramy się ustalić, jakie warunki powinny zostać nałożone na te pojęcia, żeby mówiąc o strukturze matematyki, nie posługiwać się pojęciem wieloznacznym a jednocześnie zrealizować wszelkie postulaty, których oczekuje się z metodologicznego punktu widzenia od teorii matematycznej.

Michael Resnik, the founder of modern structuralism in the philosophy of mathematics, changed his views and proposed a new non-ontological structuralism. Resnik is considered a prominent figure in modern structuralism within the realm of contemporary philosophy of mathematics, and his sui generis structuralism is regarded as one of the most significant and frequently discussed positions in the field. This article examines the motivations behind Resnik’s change of perspective. His new position is presented in detail, and an attempt is made to contrast it with selected views in the philosophy of mathematics. The discussion is conducted in the context of the Frege-Hilbert Controversy, which centers on the status of mathematical theory axioms and the meaning attributed to primary terms. The three-stage concept of the development of deductive sciences, proposed by Kazimierz Ajdukiewicz, is also introduced. This concept, inspired by Hilbert’s ideas, outlines three stages in the evolution of deductive theories: (1) pre-axiomatic deductive, (2) axiomatic deductive, (3) abstract axiomatic. Each of these stages possesses unique characteristics that illuminate the nature of deductive theories, particularly in relation to the approach to sets of axioms and primary terms within these theories. Additionally, two styles of practicing deductive theories (assertive and hypothetical) are discussed. Ultimately, an exploration of Resnik’s non-ontological structuralism provides insight into how this novel structuralist concept should be understood and clarifies the author’s actual claims. Alongside these distinctions, a new conception of hypothetical structuralism, distinct from non-ontological structuralism, is formulated. This novel structuralism is rooted in the hypothetical approach to practicing deductive theories.

Wspólne dla różnego typu strukturalizmów matematycznych jest stwierdzenie, że dla matematyki jako nauki prawdziwa jest koniunkcja: a) matematyka jest nauką o strukturach oraz b) matematyka jest nauką dedukcyjną. Przedstawiane są odmienne argumenty na rzecz tych dwóch własności matematyki i różnie rozumiane są pojęcia strukturalności i dedukcyjności, co skutkuje powstawaniem różnego rodzaju strukturalizmów. Twierdzimy, że przy pewnym ustalonym sposobie rozumienia tych pojęć możliwa jest ich równoważność. Argumentujemy na rzecz takiego rozumienia strukturalizmu, które streszcza się w stwierdzeniu: a) matematyka jest nauką o strukturach wtedy i tylko wtedy, gdy b) matematyka jest nauką dedukcyjną.

Ulrich showed that most of the known axiomatisations of the classical equivalence calculus (EC) are D-incomplete, that is, they are not complete with the condensed detachment rule (D) as the primary rule of the proof procedure. He proved that the axiomatisation EEpEqrErEqp, EEEpppp by Wajsberg is D-complete and pointed out a number of D-complete single axioms, including one organic single axiom. In this paper we present new single axioms for EC with the condensed detachment and the reversed condensed detachment rules that form D-complete bases and are organic.

M. Resnik (2019) suggests a new version of structuralism which he calls non-ontological structuralism. In the present short article I discuss this view-point in the context of the Frege-Hilbert controversy about meaning of primitive notions in deductive theory, with special regard to the original views of K. Ajdukiewicz, Hilbert’s student. Following the proposed differentiations, I introduce a new type of structuralism which I call hypothetical structuralism, close to Resnik’s non-ontological structuralism.