María Gabriela Fulugonio

It is well known that throughout history there have been different types of writing, and that each form has facilitated the development of knowledge to varying degrees. In this paper, after providing an overview of these different forms of writing and their influence on mathematical notation, I shall discuss the thesis put forward by Charles Sanders Peirce in (1885) “On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation” regarding the types of signs required for the construction of a formal language. The subject is of particular interest in view of the growing importance that reflection on iconic or diagrammatic thought has acquired in recent decades, which is most often grounded in Peirce’s classification of signs into symbols, indices and icons. I begin by conceding the validity of Peirce’s thesis for those highly elementary calculi expressions, very close to accounting operations, but I maintain that this thesis is insufficient to explain how notations function that do not necessarily have such an empirical basis. Rather, I defend the idea that, in particular, modern mathematical notation results from the convergence of two major traditions in scientific practice: the search for a universal notation suitable for the precise expression of propositional content, and attempts to formally express deductive systems. I supplement this with a response to possible objections.

To what extent is a pure analysis of the principle of complete induction possible? Gottlob Frege sets out his proposal in the third part of Begriffsschrift [Bs.] (1879), a proposal which is subsequently praised by Bertrand Russell in Principles of Mathematics (1903) and in Principia Mathematica (1910). This is not the case with Wittgenstein in the Tractatus Logico-Philosophicus. Through this work, I seek to understand the foundations of his critique and his counter-proposal. Thus, after presenting logicism in Part I as a research programme concerning the cognitive scope of reason, I focus in Part II on Frege’s definition of succession. To understand the details of this, I critically examine in Part II.i. the theory of generality in Bs. and the rules of its axiomatic system. In II.ii., I set out his most important propositions: proposition 69 (definition of hereditary property), proposition 76 (definition of succession), proposition 81 (foundation of the principle of induction), proposition 99 (property known since Russell as ‘weak ancestor’) and proposition 115 (univocity of a procedure). II.iii. sets out the first serious attention and criticism that Frege’s proposal received, provided by the Austrian philosopher Benno Kerry in the series he published between 1885 and 1891 in the Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie. Ludwig Wittgenstein would also attack the circularity of the definition of succession in the Tractatus Logico-Philosophicus and, building on the well-known dispute between Russell and Poincaré regarding paradoxes, would go on to characterise the definition to characterise Frege’s definition as non-predicative. Having studied all of the above in detail, we are finally in a position to address the TLP’s counter-proposal. I devote Section III to this. In III.i, the formal concept of a general member of a series is analysed, and in III.ii, the notation N is introduced; these are the two fundamental notions upon which the proposal rests. Finally, in Section IV, I assess the validity of the ‘Tractarian logicism’ advocated by Landini (2007) and, again, in (2021), highlighting the importance of the Tractarian presentation in terms of recursive functions. Incidentally, from a historical perspective, we find in this emphasis on the demonstration of a rule the seed of his subsequent turn towards pragmatism.

In my contribution I sought to show that Frege is obliged to logicism for certain changes to the classic notion of proof he originally defends. Henceforth, after a minimal characterization of such a notion, I will look after it in Begriffsschrift (1879) in order to show that it is in strong connection with the fregean worry about confidence in mathematical proofs. Afterwards, I analyze the relationship between the language Frege designs (the Concept-script) and his goal of supplying the defects other languages as natural language, arithmetic language and other logic systems have. I show how this inevitably conducts him to a notion of proof which is nearer to formalism; although one is to concede he still defends a classic idea of proof, at least on regards of its epistemic aspect. This entire, close related with the so sharp augmentation of knowledge problem in deductive proofs. I end up with a switch between these results and the underlying idea of logic Frege himself supports.

La disciplina que llamamos “lógica” se encuentra hoy en día en una situación particular. Desde luego, el marco general sigue siendo la lógica simbólica, de cuya constitución como disciplina científica ha pasado casi un siglo. Pero dentro de este marco se han hecho avances impresionantes en nuestra comprensión de lo que es la deducción y de sus aplicaciones en diferentes campos, en particular, en las ciencias de la computación. Así, la aparición de este volumen pretende favorecer la profundización de las discusiones sobre la fundamentación y el desarrollo de nuestras ideas y prácticas. Sin pretender sentar posición explícita acerca de la distinción entre lógica pura y lógica aplicada, todos los trabajos del presente volumen muestran cómo la lógica colabora en la dilucidación de algún problema teórico organizados en torno a dos asuntos centrales: i. la lógica y su alcance en relación con la matemática, ii. el uso de la lógica frente a desacuerdos profundos y frente a las relaciones entre creencias y nuestros cursos de acción.

En el Apéndice de (1903) Principles of Mathematics Bertrand Russell sintetiza su acuerdo general con la obra de Gottlob Frege y, hacia el final, destaca la definición que el matemático alemán da en (1879) Begriffsschrift de relación ancestral, clave para la reducción logicista de la aritmética. Asimismo, la defiende del ataque de circularidad efectuado por el filósofo austriaco Benno Kerry en uno de los artículos publicados entre 1885 y 1891 en Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, la misma revista donde más tarde Frege publicaría su célebre (1892) “Über Begriff und Gegenstand” en conocida respuesta al ataque de “un tal Kerry” a su noción de concepto. En mi trabajo pretendo revisar esta desconocida disputa con el convencimiento de que echará luz sobre un filósofo injustamente ignorado, no por sus contemporáneos, sino por las generaciones subsiguientes. Como objetivo adicional, espero que esta elucidación sea un aporte a la discusión acerca de las críticas, más o menos certeras, de Frege al psicologismo y, también, al controvertido asunto de la recepción temprana de Frege en Alemania.

En mi trabajo, partiendo de una breve consideración de los usos del adjetivo "pragmático" en el lenguaje corriente, pretendo analizar cuáles son las líneas de influencia que convergen en el constructivismo metódico de Erlangen con el objetivo de defender la tesis según la cual el pragmatismo que defienden los teóricos de Erlangen es más acorde con el que casi un siglo antes postulara C. S. Peirce que con cualquier otro que se desarrollara posteriormente. Y ello fundamentalmente dadas las siguientes tres razones: la concepción consensual compartida de la verdad1 , el hincapié en el aspecto esencialmente pragmático del lenguaje y, partiendo de este entendimiento de la estructura lingüística, la confianza en los recursos formales que el lenguaje puede ofrecer a la ciencia para que ésta sirva al progreso humano.

Si acaso se conoce hoy el nombre de Benno Kerry es porque resulta ser el enigmático interlocutor de Frege en su trabajo seminal de 1892, “Sobre concepto y objeto”, aparecido en Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie(1877-1916). Allí Frege expresa su intención de responder a las críticas a Los fundamentos de la aritmética y a otros trabajos suyos que Kerry había publicado años antes en la misma revista. Pero, desafortunadamente, Frege se ocupa en este artículo solamente de la crítica que Kerry le hiciera a su noción de concepto. Hasta aquí la historia es conocida al menos entre quienes se dedican sea a la filosofía analítica, sea a la historia de la lógica contemporánea. Menos conocido es que la obra de Kerry rebalsa en mucho dicho abordaje de Frege. Así, el objetivo del presente trabajo es mostrar que su puntual crítica a uno de los pilares del programa logicista, la definición fregeana de sucesión, es un antecedente de la disputa acerca de la impredicatividad que se desatará a comienzos del siglo XX. Para ello, en I me ocuparé de la definición de sucesión fregeana. En II presentaré aspectos generales de la obra de Kerry y me detendré en la crítica que hace a la definición fregeana. Finalmente, en III mostraré que la defensa que Russell presenta de la definición fregeana en el “Apéndice A” de sus Principios de la Matemática es insuficiente. Dejo IV para las conclusiones, entre las que destaco que la crítica de Kerry es un claro antecedente de lo que en 1908 Russell llamara “Principio del Círculo Vicioso”.

Fue Charles Sanders Peirce en (1885) “On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation” el primero en señalar la necesidad de una reflexión filosófica acerca de la notación en lógica. Dicho artículo comienza con una presentación de su teoría sobre los signos, a fin de defender que un sistema perfecto de notación lógica signos necesita de todos ellos. En mi trabajo busco destacar que su teoría se adapta bien a los cálculos en tanto refinamientos de acciones contables, pero que es insuficiente para explicar cómo funcionan notaciones que no tengan necesariamente tal base empírica. Defiendo más bien la idea de que, en particular, la notación matemática actual resulta de la confluencia de dos grandes tradiciones de la práctica científica: la búsqueda de una notación universal apta para la expresión exacta de contenidos judicativos y los intentos de expresar formalmente sistemas deductivos.

This collaboration approaches the topic of creativity, specifically, by dancing. Among paleoanthropologists it is commonly accepted that dancing might be even older as language itself —language not to be confused with communication, of course— and that it would have appeared as a way of expressing strong emotions when no verbal communication for such feelings was available. Starting with a guiding definition of dancing, which distinguishes dancing as a specific human activity, I argue that, despite the huge development of civilization, dancing as it originally might have appraised still maintains nowadays its basic expressive goal. I will unfold this idea focusing on María Fux´s dance therapy method. Further, I argue that language, properly used, far from blocking the expressive sense of dancing, helps indeed to reach increasingly creative and healthy results. I will analyze, then, how language is used in the Fux method and make some proposal about the so-called “mother-words” creative stimulus, maybe its most renown technique. Last but not least, I should warn the reader that this is recently born research, which started with my own practicing the method some time after the pandemia.

Como organizadora del primer Simposio de lógica realizado en el marco de las Jornadas de Epistemología de las Ciencias Económicas presento el siguiente Informe, debido a que se decidió hacer una publicación independiente con una selección de los trabajos presentados a fin de puedan ser estudiados temáticamente. Se aspira a que ello sirva de material de trabajo a investigadores y alumnos en general y, muy en particular, que permita dar continuidad a nuestro intercambio –personal e institucional– en las próximas XXX Jornadas. Pero conforme la atención que cobró el Simposio durante las Jornadas, y a su importancia, se evaluó que no debía quedar sin mención en las presentes Actas. En lo que sigue presento, entonces, un resumen de la convocatoria, de los trabajos que tuvieron lugar y de la ilación entre ellos. Combinaré el material escrito que me facilitaron los autores con su presentación oral, algunas discusiones posteriores y búsqueda bibliográfica. Cualquier imprecisión que pudiera aparecer es de mi absoluta responsabilidad.

From the work of Frege and Russell onwards, it is usual to conceive the notion of abstraction in terms of the notion of class. However, the German mathematician and philosopher Paul Lorenzen (1915 – 1994) will defend in (1955) Einführung in die operative Logik und Mathematik explicitly the opposite: that classes are a special type of abstract objects, a thesis that he will maintain throughout all his work. Through an analysis of this statement, I will defend that Lorenzen´s point of view is, after all, compatible with what I call a ‘minimal logicism’ concerning certain relationship between language, logic and mathematics. I base my view on Lorenzen´s notion of abstraction as well as on his idea that the objective content of mathematics is sustained precisely by our possibility of making successive operations of abstraction starting from concrete objects and arriving at sets defined as abstractions over certain kinds of forms: propositional forms. I finally relate this starting point with Lorenzen´s dialogical logic and his proposed method for grounding theoretical and practical reason.

El presente volumen compila los trabajos enviados para su publicación en las Actas correspondientes a las XXX Jornadas de Epistemología de las Ciencias Económicas. Las Jornadas, conocidas ya internacionalmente como las JECE, se efectúan anualmente desde 1994 en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. Organizadas originalmente por el Centro de Epistemología de las Ciencias Económicas (CIECE), luego se sumó el Instituto Interdisciplinario de Economía Política (IIEP), con todo el apoyo que eso supone. Esta vez, del 11 al 13 de septiembre de 2024, tuvimos el honor de realizar la treintava versión. Una vez más, las JECE reunieron a profesores, investigadores y estudiantes avanzados de todo el país, de la región y de otros continentes. Asimismo, contamos con importantes conferencistas tanto de modo presencial como remoto, con tutoriales y Simposios en las distintas disciplinas básicas o aplicadas que hacen al quehacer económico. En todos los casos, se buscó mostrar los últimos avances epistemológicos y sus interpretaciones dentro de un marco de discusión rigurosa, que permita así la generación de conocimiento. La existencia de ambientes como este, que desde hace 30 años ofrece un espacio de reunión, exposición y discusión, es fundamental para el avance de las ciencias económicas, al generar ecosistemas propicios para la aparición de ideas innovadoras y para repensar ideas preconcebidas. Las Jornadas de Epistemología de las Ciencias Económicas fueron gestadas, desde sus orígenes, como un ambiente que permita el intercambio de ideas y la elevación del nivel intelectual a través del detallado debate, discusión y puesta en común de ideas acerca del quehacer científico. A su vez, esperamos que la publicación de estas Actas sirva tanto como una forma de documentación histórica (parcial, claro está) de lo acontecido, como de material de consulta para los investigadores, profesores y alumnos que permanentemente nos interesamos por servirnos y servir a la evolución y promoción de la cultura.

Zwischen 1885 und 1889 veröffentlicht Benno Kerry eine Reihe von acht Artikeln „Über Anschauung und ihre psychische Verarbeitung“ in der Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie. Bekannt ist davon seine vor allem im vierten Artikel vorgebrachte Kritik an Freges Konzept des Begriffs. Weniger bekannt ist, dass der junge Wiener Philosoph dort darüber hinaus auch Freges in der Begriffsschrift gegebene Definition des Nachfolgers kritisiert. Diese Kritik ruft aber kaum Reaktionen hervor. Erst 15 Jahre später bezieht sich Bertrand Russell im „Appendix A“ von Principles of Mathematics (1903) auf sie, wenngleich ohne sich dabei lange aufzuhalten. Erst 1906 wird er anlässlich seiner Diskussion mit Poincaré noch einmal auf die Sache zurückkommen. In meinem Beitrag argumentiere ich zum einen – und gegen das, was von der sogenannten analytischen Tradition gelehrt wird – für die Bedeutung des dritten Teils der Bs. und seinen Platz in Freges allgemeinem Programm. Zum anderen zeige ich, dass Russell Kerrys Hinweis auf die Zirkularität der Definition der Nachfolgerbeziehung kennt und dass dies ohne Zweifel ein klarer Präzedenzfall vor Russells Diagnose des Problems der Antinomien in seinen „Mathematical Logic as Based on the Theory of Types“ (1908) ist. Mit dem Ziel, etwas Licht auf den problematischen Punkt der Zirkularität solcher Definitionen zu werfen, biete ich eine detaillierte Analyse der Definition Freges und der Beziehungen der Anschauungen zu reinen Begriffen.

En su obra de 1884, Die Grundlagen der Arithmetik [Gl.], Frege establece el principio del contexto como uno de sus principios fundamentales y propone valerse de él para dar con el concepto adecuado de número. Así, ofrece una definición de tipo contextual de número cardinal, pero ante una objeción que le resulta insalvable se decide por una definición explicita. La cuestión acerca de cuál ha sido entonces el sentido de establecer con tanto énfasis el principio del contexto admite más de una respuesta. Mi texto polemiza con la interpretación canónica que se ha dado al papel de este principio en Gl., acusándola de permanecer encandilada por lo que se lee de manera inmediata en desmedro de una evaluación más integral y crítica. En particular, defenderé que: i) a diferencia de lo afirmado en Dummett 1991, la definición contextual de número cardinal no es abandonada por Frege al dar su definición explícita de número, ii) el principio del contexto tiene en Gl. un papel erístico fundamental de eliminar posiciones rivales acerca de la naturaleza de los números, iii) dicha definición contextual de número tiene un papel heurístico en el contexto de descubrimiento, en el sentido de que ofrece una intuición clave que permite llegar a la formulación final, iv) a su vez, la definición contextual es una condición necesaria de la definición explícita en el contexto de justificación, siendo que esta última se ha construido a partir de la primera. Por todo ello, sostengo que la función del principio del contexto no es la que prioriza Dummett, i. e., la fallida función de resolver el problema ontológico de la naturaleza de los números, sino que es fundamentalmente metodológica. En efecto, es en su función erística y heurística en donde debe ubicarse su relevancia para la investigación llevada a cabo en Gl. In his masterpiece of 1884, Die Grundlagen der Arithmetik [Gl.] Frege presents the context principle as a fundamental one in his investigation à propos an accurate concept of number. Thus, resting on it he offers a contextual definition of cardinal number; but after analyzing some objections he realizes that this definition does not work and decides himself for an explicit one. The question about what is the purport of the context principle when something that appeared to be the consequence is put aside admits more than a single answer. In this paper I argue against the canonic interpretation for, even while keeping next to the Fregean text, it fails to offer an integral explanation of how the context principle works all along Gl. In particular, I will defend that: i) contrary with Dummett 1991, the contextual definition of cardinal number is not abandoned by Frege when giving his explicit definition of number, ii) the context principle has in Gl. a fundamental eristic role of crossing out rival positions about the nature of numbers, iii) such contextual definition of number has an heuristic role in the discovery context, in the sense it offers a key intuition towards the final formulation, iv) furthermore, the contextual definition is a necessary condition in the justification context for the latest has been built up through the first one. For all this, I maintain that the function of the context principle is not the one Dummett prioritizes, i. e., the failed function of solving the ontological problem of the nature of numbers; the function of the context principle is rather and fundamentally methodological. It is on its eristic and heuristic function that its relevance to the Gl. investigation must be looked for