Federico Raffo Quintana

RESUMEN El artículo reconstruye la concepción metodológica de Leibniz de finales del periodo parisino, que subyace al tratado Sobre la cuadratura aritmética del círculo, la elipse y la hipérbola (1676). Se muestra que Leibniz concibió un procedimiento en el cual el hallazgo de nuevos conocimientos de alguna manera coincide con su demostración, y en el que los procesos de análisis y síntesis se emplean de diversas maneras. ABSTRACT The article reconstructs Leibniz's methodological conception of the late Parisian period underlying the treatise On the Arithmetical Squaring of the Circle, the Ellipse, and the Hyperbola (1676). It is shown that Leibniz conceived of a procedure where the finding of new knowledge somehow coincided with its demonstration and in which the processes of analysis and synthesis were employed in various ways.

Algunos pasajes escritos por Leibniz en 1675/1676 parecerían sugerir que el filósofo de Leipzig mantuvo una concepción de tipo averroísta según la cual hay un único intelecto agente universal común a todas las mentes individuales. Al mismo tiempo, esta interpretación se complementa con la idea sostenida por algunos exégetas de que Leibniz, inspirándose en Spinoza, habría defendido que hay una única sustancia de la que las mentes singulares son modos. En este trabajo buscaremos mostrar que Leibniz no defendió un intelecto universal común a todas las mentes, a pesar de que admitió la existencia de una inteligencia primera. En el camino que nos conducirá hacia esto, justificaremos también que el filósofo de Leipzig mantuvo que existe una pluralidad de ‘entes’ tipo mentes.

In this paper, we analyze the arguments that Leibniz develops against the concept of infinite number in his first Parisian text on the mathematics of the infinite, the Accessio ad arithmeticam infinitorum. With this goal, we approach this problem from two angles. The first, rather philosophical or axiomatic, argues against the number of all numbers appealing to a reductio ad absurdum, showing that the acceptance of the infinite number goes against the principle of the whole and the part, which is analytically demonstrated. So, discussing the ideas of Galileo, Leibniz concludes that the infinite number equals 0. Moreover, Leibniz seems to arrive at the same conclusion through his rule for adding the infinite series resulting from the harmonic triangle. Although he acknowledges the conjectural character of this conclusion, he seems to consider it to be a reinforcement of his first argument. Moreover, in reconstructing the justification of the given rule, we try to show that Leibniz does not appeal to the application of infinitesimal quantities, but rather to a treatment of the infinite series in terms of totalities.

En este trabajo trataremos de mostrar que la concepción de la ficcionalidad de las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas sostenida por Leibniz al menos desde 1676 está enmarcada en una consideración más amplia, aunque todavía incipiente, acerca de la naturaleza de lo matemático en general, cuya consecuencia es que en la realidad no hay nada que posea, en sentido estricto, las propiedades de los objetos matemáticos. En este sentido, a partir del año señalado, Leibniz desarrolla argumentaciones que tienen la finalidad de probar que lo físico y lo matemático, dentro de lo cual incluimos también las ficciones matemáticas, pertenecen en cada caso a dominios de objetos con propiedades muy distintas. De esta manera, podría decirse que comienza en este período un camino en el pensamiento leibniziano que años más tarde, tras ulteriores reflexiones, desembocará en la distinción entre el ámbito de lo real y el de lo ideal.

This paper is concerned with the status of mathematical fictions in Leibniz’s work and especially with infinitary quantities as fictions. Thus, it is maintained that mathematical fictions constitute a kind of symbolic notion that implies various degrees of impossibility. With this framework, different kinds of notions of possibility and impossibility are proposed, reviewing the usual interpretation of both modal concepts, which appeals to the consistency property. Thus, three concepts of the possibility/impossibility pair are distinguished; they give rise, in turn, to three concepts of mathematical fictions. Moreover, such a distinction is the base for the claim that infinitesimal quantities, as mathematical fictions, do not imply an absolute impossibility, resulting from self-contradiction, but a relative impossibility, founded on irrepresentability and on the fact that it does not conform to architectural principles. In conclusion, this “soft” impossibility of infinitesimals yields them, in Leibniz view, a presumptive or “conjectural” status.

In this paper, we will consider the theoretical aspects of Leibniz’s thought on infinitely small and infinite quantities in the context of the natural philosophy developed by him in the Parisian period. We will hold that in the texts of this period an attempt of problematizing concepts of infinitary mathematics is found, which is not in the strictly mathematical texts. In this perspective, we also propose that there is in Leibniz a “double methodological record” concerning the question of the infinity and of the infinitesimal. As a mathematician, Leibniz is concerned about technical questions related to the construction of the infinitesimal calculus, in its different aspects, without be concerned about the philosophical challenges its adoption implies. However, as a philosopher and a metaphysician, Leibniz is obliged to deal with epistemological and ontological problems that emerge from the adoption of technical resources in matters of infinitesimal mathematics.

Resumen: En este trabajo examinaremos la evolución del tratamiento de la noción de “espacio” en los escritos de juventud de Leibniz. Distinguiremos tres momentos del desarrollo de esta noción. En un primer momento, consideraremos la concepción del espacio como un “lugar universal” que el filósofo de Leipzig presentó entre 1669 y 1671. En segundo lugar, abordaremos algunos escritos físicos de 1672 en los que introdujo el movimiento en la definición de cuerpo. Esto lo llevó a rechazar su concepción anterior del espacio como “lugar universal”. En tercer lugar, consideraremos algunos textos redactados entre 1675 y 1676 en los que elaboró un examen de la noción de “espacio universal” que difiere de la concepción desarrollada en el periodo preparisino y que se vincula con el surgimiento de la noción de extensión como atributo de Dios.: In this paper we will examine the evolution of the treatment of the notion of “space” in the young Leibniz’s writings. We will distinguish three moments of the development of this notion. First, we will consider the conception of space as a “universal place” which the philosopher of Leipzig presented between 1669 and 1671. Then, we will examine some physical writings of 1672 in which he introduced motion in the definition of body. This led him to reject his previous conception of space as “universal place”. Third, we will consider some texts written between 1675 and 1676 in which he developed an exam of the notion of “universal space” which differs from the conception he held in the pre-Parisian period and which is related with the emergence of the notion of extension as an attribute of God.

Algunos autores han sostenido que es posible que en el pasaje de la mano invisible, en La teoría de los sentimientos morales, Smith esté contestando a Rousseau. Esta hipótesis se basa en una fraseología similar que usan tanto Smith como Rousseau en el Discurso sobre el origen de la desigualdad. En esta nota se mostrará que es posible realizar una distinción importante con relación al período histórico que Smith está analizando en el pasaje de la mano invisible de TSM IV: 10 y el que Rousseau está analizando en el Discurso sobre el origen de la desigualdad, a pesar de la fraseología similar con relación a las rudas selvas de la naturaleza. Some authors have contended that it is possible that Smith is answering Rousseau in The Theory of Moral Sentiments. This hypothesis is based on a similar phraseology used both by Smith and by Rousseau in the Discourse on the Origin of Inequality. In this note, a clear distinction will be made. In the aforementioned works, Rousseau and Smith refer to different periods of time, in spite of the similar phraseology used in relation to "the rude forests of nature".

En este trabajo consideraremos la relación entre el monismo de la sustancia divina y el pluralismo de las partes del continuo en sus escritos metafísicos de 1675-76. Este es otro punto de vista de la relación general entre monismo-pluralismo considerada por Andreas Blank, aunque compatible con el suyo. Para mostrar esta relación, primero consideraremos el tratamiento acerca de lo máximo en el continuo, distinguiendo dos tipos y mostrando que uno de ellos no fue tratado con anterioridad. Segundo, analizaremos el estatus ontológico de la materia, como una cosa existente actualmente –aunque no sustancial. Tercero, consideraremos la teoría acerca de las partes del continuo como infinitas y resultantes de una división sin fin.